Blog: Stropdassen en schoenveters
Zondag 19 december 2010, 17:30
Twee wiskundeboeken die ik al lang wil bespreken zijn "The 85 Ways to Tie a Tie" van Thomas Fink en Yong Mao, en "The Shoelace Book" van Burkard Polster. Beide boeken hebben een opmerkelijk gelijklopende geschiedenis: een kort artikel in Nature, door de media opgepikt en gehyped, en vervolgens uitgegroeid tot een volledig boek. De respectievelijke onderwerpen - stropdassen en schoenveters - zijn zó alledaags, dat misschien moeilijk te geloven is dat wiskunde er iets interessants over kan vertellen. Ten onrechte, natuurlijk!
Laat me beginnen met de stropdassen. Thomas Fink en Yong Mao zijn twee fysici die aan de Universiteit van Cambridge werken. Zij schreven eerst het korte artikel "Designing tie knots by random walks" in Nature (vol. 398, 4 maart 1999, pp. 31-32), gevolgd door een wat dieper uitgewerkt artikel "Tie knots, random walks and topology" in Physica A (vol. 276, 2000, pp. 109-121), wat uiteindelijk groeide tot het boek "The 85 Ways to Tie a Tie".
De eerste helft van het boek bestaat uit een gejaagde geschiedenis van stropdassen, die soms moeilijk te begrijpen is door een gebrek aan uitleg en illustraties. Een foto uit 1926 van de fellows van het Cavendish Laboratory, waar tot twee keer toe naar verwezen wordt, is nergens te vinden. Eén leuke ontdekking deed ik er wel in dit hoofdstuk: de verklaring van de rare lijn "stuck a feather in his cap and called it macaroni" uit het liedje Yankee Doodle Dandy!
De tweede helft van "The 85 Ways to Tie a Tie" is een opsomming van de 85 manieren om een stropdas te knopen. De wiskunde in het boek is minimaal (er is niet meer wiskundige inhoud dan in de ene Nature-pagina) en zeer elementair. De resultaten worden misleidend voorgesteld als een toepassing van knopentheorie, terwijl er in feite helemaal geen knopentheorie aan bod komt. Het vermeiden van knopentheorie is ironisch genoeg juist de verklaring van het succes van Fink en Mao! De equivalentie van knopen is namelijk een zeer complex probleem. Fink en Mao realiseerden zich echter terecht dat de knopentheoretische eigenschappen van de uiteindelijke knoop niet essentieel zijn, maar wel de methode van knopen, met name de opeenvolging van elementaire bewegingen van het ene eind van de das over of onder het andere eind.
Zo beschouwd, wordt de opsomming van alle mogelijke knopen vrij triviaal, zolang je een bepaalde bovengrens zet op het aantal elementaire bewegingen. Fink en Mao stellen het maximum aantal elementaire bewegingen op 9 en komen zo uit op 85 verschillende manieren om een das te knopen. Die 9 is een vrij willekeurig getal, dus ik vind het nogal pretentieus om te stellen dat hun lijst van 85 manieren de onbetwistbare lijst is, wat geïmpliceerd wordt door het lidwoord in het begin van de titel van het boek. Bovendien mist hun lijst de knopen waarbij de laatste doorsteek door meer dan één lus gaat, hoewel toch een aantal bekende knoopmethodes dit doen. Deze worden in het boek besproken, maar niet apart geteld, wat moeilijk te verantwoorden is.
Fink en Mao verzamelen ook enkele regels om af te leiden welke knopen esthetisch zijn. Opnieuw bevatten deze regels erg willekeurige getallen, wiens waarde lijkt gekozen met een bepaalde verzameling van esthetische knopen reeds in het achterhoofd. Als wetenschappers zouden Fink en Mao beter moeten weten.
De wiskunde van "The 85 Ways to Tie a Tie" is dus teleurstellend, om niet te zeggen aanstootgevend. Gelukkig is er een ander aspect van het boek, dat op zichzelf de aankoop ervan rechtvaardigt: de bijzonder duidelijke illustraties van de knoopmethodes. In deze tijden kan een man gelukkig al honderden "how to tie a tie"-video's vinden op Youtube. Geen enkele van die video's is echter ook maar half zo duidelijk als de illustraties in "The 85 Ways to Tie a Tie". Dit is waarschijnlijk de belangrijkste reden waarom het boek zoveel lovende recensies heeft gekregen; de correcte plaats voor "The 85 Ways to Tie a Tie" is niet het boekenrek, maar wel in de kleerkast, bij de stropdassen!
Wat dan met "The Shoelace Book"; moeten we dat bij het schoenenrek plaatsen?
Stropdassen zijn een constante zorg voor de zichzelf respecterende man, maar je zal moeite moeten om iemand te vinden die sinds de kleuterklas nog heeft nagedacht over zijn schoenveters. De Australische wiskundige Burkard Polster is echter een uitzondering. Hij heeft een heel boek volgeschreven over schoenveters: "The Shoelace Book, A Mathematical Guide to the Best (and Worst) Ways to Lace Your Shoes.".
Het is belangrijk om op te merken dat het werkwoord in de ondertitel "to lace" is, en niet "to tie". Het gaat dus niet om het knopen van de schoenveters, wel om het patroon waarmee de schoenveters door de ogen in de schoen worden geregen. Op hoeveel manieren kan dat? Wat is de kortste methode? En de sterkste?
Over deze problemen werden al enkele bekende artikels geschreven, eerst door John H. Halton in 1995 in de Mathematical Intelligencer en in 1996 wijdde Ian Stewart een column in de Scientific American eraan. Het meeste faam viel echter te beurt aan Burkard Polster toen hij enkele nieuwe resultaten publiceerde in een kort artikel in Nature (vol. 420, 5 december 2002, p. 476). De vele interesse in deze wiskundige schoenveterproblemen moedigde Polster aan om er een heel boek over te schrijven, en zo werd in 2006 "The Shoelace Book" geboren.
"The Shoelace Book" is een relatief dun boekje, maar biedt een schijnbaar eindeloze rijkdom aan wiskundig snoepgoed. En laat je niet misleiden door het schijnbaar kinderlijke onderwerp van schoenveters: dit is serieuze wiskunde; werkelijk een "mathematical guide". Wie het niet voor wiskunde heeft, zal wel de leuke cartoons aan het einde van elk hoofdstuk smaken, maar zal al snel opgeven bij het lezen van de tekst. Polster verliest immers geen tijd met het uitleggen van wiskundige notatie zoals binomiaalcoëfficiënten. Een beetje wiskundige basiskennis en de vaardigheid om helder combinatorisch te denken, is dus een vereiste.
Het boek gaat veel verder dan de eerder verschenen artikels en presenteert veel nieuwe resultaten, voorzien van elegante bewijzen. De bewijsmethodes zijn interessant en divers; meestal combinatorisch van aard, maar er is ook een significant aandeel aan analytische methodes. De wiskunde is erg duidelijk gepresenteerd en vloeiend aan elkaar geschreven. Af te toe gaat er wel een kleinigheid mis. Zo haalt Polster in sectie 4.4 een nogal vaag ellips-argument aan om te argumenteren dat gegeven twee driehoeken met dezelfde basis en hoogte, bij degene met de kleinste omtrek de top het centraalst tussen de andere hoekpunten ligt. Dit is echter heel elegant en sluitend te bewijzen met een reflectie en de driehoeksongelijkheid. Deze relfectiemethode werd ook al door Halton gebruikt in zijn Mathematical Intelligencer-artikel, dus ik weet echt niet waarom Polster de voorkeur geeft aan een veel ingewikkelder en onduidelijker argument. Gelukkig is dit slechts een geïsoleerd geval. Polsters redeneringen zijn in het algemeen wel bijzonder elegant en aangenaam om volgen. De enkele keer dat je als lezer zelf een mooier bewijs kunt vinden, geeft dat extra voldoening in plaats van ergernis.
Je zou kunnen tegenwerpen dat er bij Polster, net als bij Fink en Mao, een zekere willekeurigheid zit in het model. Maar het gaat hier niet om willekeurig gekozen getalletjes. De veronderstellingen die Polster doet, met name over hoe de ogen in de schoen gespreid zijn, zijn voldoende correct voor de meeste schoenen. Polster is zich er goed van bewust bepaalde situaties buiten zijn model vallen, en besteedt ook aandacht aan enkele variaties op zijn model. Bovenal: Polster, in tegenstelling tot Fink en Mao, heeft niet de pretentie om te stellen dat zijn model alomvattend is. Dat is ook niet nodig: heb succes van wiskunde ligt juist in het maken van de juiste abstracties, om tot een elegante, doch nog steeds relevante, theorie te komen. Een daar is "The Shoelace Book" een perfecte illustratie van.
"The Shoelace Book" is recreatieve wiskunde bij uitstek. Het boek bevat een schat aan fantastische wiskunde, maar geeft zijn geheimen niet zomaar prijs: het zet je als lezer zelf aan het denken. Het is een boekje dat je veel langer zal bezighouden dan de geringe dikte doet vermoeden!
De plaats van "The Shoelace Book" is dus niet bij het schoenenrek, wel in de boekenkast, trots tussen Paul Zeitz; Berlekamp, Conway en Guy; en Martin Gardner!