Zaterdag 15 december 2012, 18:11
Tour de France 2014 start in Leeds! Ook al is de kans erg klein dat ik in 2014 nog in Leeds woon, toch maakt het mij bijzonder trots op Leeds en Yorkshire.
Goed dat de Tour in de zomer is, zodat de toestanden van gisterenochtend geen probleem zullen zijn. Je kon gisteren letterlijk over straat schaatsen. Een vrouw die de trappen op Elm Street in Woodhouse naderde, leek stevig op haar benen te staan en minder last te hebben van het ijs dan ik. Doch toen ze één voet op de bovenste trap zette, ging het "whooo" boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing-boing alle negentien trappen een voor een op haar achterwerk naar beneden gegleden. Gelukkig was ze ongedeerd.
Ikzelf was op weg naar het station om de trein naar Leicester te nemen. waar er een dag in het teken van Reuben Louis Goodstein gepland was. Goodstein is mijn academische grootvader. Dat wil zeggen: hij was in 1970 de promotor van mijn huidige promotor Barry Cooper. Vandaag zou hij 100 jaar geworden zijn.
Goodstein werkte samen met onder andere Ludwig Wittgenstein, John Littlewood en Paul Bernays. Hij was de eerste vast aangestelde logica-professor in het Verenigd Koninkrijk, en de meeste logica-onderzoeksgroepen in het land vandaag hebben leden die onder Goodstein gestudeerd hebben. Hij speelde ook een belangrijke rol in de Mathematical Association.
Goodsteins meest bekende resultaat is ongetwijfeld de convergentie van Goodstein-rijen. Dit gaat als volgt. Neem een getal, zeg 10, en schrijf het in binair, met de exponenten ook in het binair, enzovoort, dus 10 = 2^2^2 + 2. Vervang dan het grondtal door 3 en trek 1 af van het resultaat, zodat je 3^3^3 + 3 - 1 = 3^3^3 + 2 krijgt, een getal van 13 cijfers. In de volgende stap wordt het 4^4^4 + 1, een getal van 38 cijfers. Enzovoort. Nu: deze rij komt na verloop van tijd uit bij 0. Jawel: nul! Je moet er waarschijnlijk al even over denken hoe de getallen überhaupt kleiner kunnen worden. Antwoord: enkel als het getal kleiner is dan het grondtal dat gebruikt wordt. Dus onze rij zal al met zekerheid niet beginnen te dalen voor de 4^4^4'ste stap, maar je ziet ook meteen dat we die benedengrens snel tot nog meer onvoorstelbare hoogten kunnen opheffen door enkele bijkomende stappen te berekenen. En toch komt de rij uiteindelijk uit bij 0. Het bewijs is verbluffend kort. Goodsteins inval was dat als je het steeds ω (het kleinste oneindige ordinaalgetal) substitueert voor het grondtal, dat je dan een dalende rij van ordinaalgetallen krijgt. Terwijl een van de basiseigenschappen van de ordinaalgetallen juist is dat elke dalende rij van ordinaalgetallen eindig is.
Goodstein vermoedde dat het gebruik van oneindigheid onvermijdelijk was om zijn resultaat te bewijzen, ook al gaat het om een resultaat over natuurlijke getallen waarin oneindigheid geen rol lijkt te spelen. Zijn vermoeden werd in 1982 bewezen door Laurie Kirby en Jeff Paris, in de zin van de convergentie van de Goodstein-rijen niet bewijsbaar is in het systeem van Peano Arithmetic. Van alle resultaten van die aard, is Goodsteins stelling het meest eenvoudig om te formuleren. In een jaar dat zoveel in het teken heeft gestaan van Alan Turing, verdient Goodstein dus ook zeker een beetje aandacht.